幂次数列

幂次数列在数字推理中难度较高，大概每年1道，考查形式多样，属于数字推理题目中的难点。

一、题型特征

1、数列呈递增趋势且变化幅度较大

2、数字本身是幂次数

3、数字在幂数附近：需要通过幂次数再做一些简单计算才能得到的，称为修正幂次。

二、解题技巧

1、普通幂次：直接转化成 a^n找规律。

2、修正幂次：，再找规律；比如170=13^2+1

三、特殊幂次

1~16的平方数：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256

1~10的立方数：1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000

2的1~10次幂：2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024

3的1~6次幂：3、9、27、81、243、729

4的1~5次幂：4、16、64、256、1024

5的1~5次幂：5、25、125、625、3125

6的1~4次幂：6、36、216、1296

7的1~3次幂：7、49、343

8的1~3次幂：8、64、512

9的1~3次幂：9、81、729

64既是8的平方，又是4的立方

256既是16的平方，又是2的8次方，又是4的4次方

常数0：0=0^n，0是0的任意自然数次方，0的0次方是没有意义的，因此n不等于0。

常数1：1=n^0=1^a=(-1)^2a，n不等于0。

负幂次：1/a=a^(-1)，a不等于0，比如1/3=3^(-1)

根号转幂：a^(m/n)=ⁿ√a^m，比如3^(1/2)=√3；3^(1/3)=³√3

四、随笔练习

例1：（2020江苏）1、1、4、9、25、（）

A.64

B.49

C.81

D.121

解析

观察数列，发现4、9、25都是平方数，因此考虑幂次数列。

原数列前五项可转化为 1^2、1^2、2^2、3^2、5^2，观察此数列，发现底数存在规律：1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，。

因此该数列的下一项为(3+5)^2，即题干所求项为64。故正确答案为A。

例2：（2019深圳）3、10、29、84、（）

A.166

B.247

C.275

D.280

解析

发现题干，因此考虑。

原数列已知项可转化为3^1 + 0、3^2 + 1、3^3 + 2、3^4 + 3。

幂次部分的底数均为3，指数为连续自然数，则指数下一项为5；

修正部分为连续非负整数，则修正部分的下一项为4。

故题干所求项应为3^5 + 4 =247。故正确答案为B。

例3：（2016深圳）1、5、18、67、（）

A.258

B.259

C.260

D.261

解析

发现数列呈递增趋势且变化幅度较大。虽然没有幂次数，但是数列，如5在4附近，18在16附近，因此考虑修正幂次。

将原数列已知项转化为1+0、4+1、16+2、64+3，即1^2 + 0、2^2 + 1、4^2 + 2、8^2 + 3。

幂次项指数不变，底数分别为1、2、4、8，构成公比为2的等比数列，故下一项为16；

修正项为0、1、2、3，即是公差为1的等差数列，故下一项为4。

因此题干所求项应为16^2 + 4 = 260 。故正确答案为C。

例4：（2018广州）3、11、13、29、（）

A.31

B.34

C.38

D.41

解析

发现数列依次递增，且

观察发现，题干数列可转化为2^2 - 1、3^2 + 2、4^2 - 3、5^2 + 4。

幂次项的底数构成公差为1的等差数列，其下一项为6；

修正项为-1、2、-3、4，是正负交替的自然数列，其下一项为-5。

故题干所求项应为6^2 - 5 = 31。故正确答案为A。

例6：（2014河北）15、26、35、50、63、（）

A.74

B.78

C.82

D.90

解析

数列呈递增趋势，但是数列各项均在幂次数附近，如15在16附近，26在25附近，35在36附近，因此考虑修正幂次。

题干数列分别为：4^2-1、5^2+1、6^2-1、7^2+1、8^2-1，故下一项所求应为：9^2+1=82。

故正确答案为C。

例7：（2024深圳38%）25、4、1、1/2、（）

A.0

B.1/4

C.1/3

D.1

解析

数列均为幂次数，优先考虑幂次数列。将原数列转化为：5^2、4^1、3^0、2^(-1)

数列底数为：5，4，3，2，是公差为-1的等差数列，则所求项底数为1；

指数为：2，1，0，-1，是公差为-1的等差数列，则所求项指数为-2。

故所求项为1^(-2)=1。

故正确答案为D。

例8：（2024浙江省）1/9，729，9，81，27，（ ）

A.27√3

B.36

C.36√3

D.45

解析

数列变化起伏较大，且存在典型幂次数，优先考虑幂次数列。

原数列可转化为：3^(-2)，3^6，3^2，3^4，3^3，（ ）。

数列的底数均为3。

依次为：-2，6，2，4，3，（ ），无明显特征，考虑作差。后项减前项得到新数列：8，-4，2，-1，（ ），是公比为-0.5的等比数列。

则所求项的为-1×（-0.5）+3=3.5。

故所求项为3^(7/2)=√(3^7)=27√3。

故正确答案为A。