余数特性

题干特征：每人、平均、多几个、少几个

余数特性一般结合倍数特征进行解题

一、基本公式

1、余数基本关系式：（0≤余数<除数)

2、余数基本恒等式：

二、同余定理

同余问题定义在【带入排除】章节已详细讲解，点击即可跳转。在这章定义快速过一遍。

1、余同加余：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，这个数是 60n+1；

2、和同加和：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，这个数是 60n+7；

3、差同减差：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5”，这个数是 60n-1；

在题干中看到“某物按 x 个分组还余 y 个”的条件，这种分组、分类有余的题目就是典型的余数特性题目。

三、余数特性(常用除以3、9等数据)

1、可加性：28+16=44，44除以3余2，可以拆分为28除以3余1，16除以3余1，余1+余1=余2；

2、可减性：28-16=12，12除以3余0，可以拆分为28除以3余1，16除以3余1，余1-余1=余0;

3、可乘性：28×16=448，448除以3余1，可以拆分为28除以3余1,16除以3余1，余1×余1=余1;

四、随笔练习

例1：(2019江苏) 一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人，5 人一组还多 3 人，7 人一组还多 4 人，则该群学生的最少人数是（ ）

A.23

B.53

C.88

D.158

解析

即该数需满足。

A 项：23-4=19，不能被 7 整除排除；

B 项：53-2=51，53-3=50，53-4=49，分别能被 3，5，7 整除，符合题干要求的是 B 选项。

故正确答案为 B。

例2：(2014天津) 有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人，如果按每横排4人编队，最后少3人；如果按每横排3人编队，最后少2人；如果按每横排2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人：

A.1045

B.1125

C.1235

D.1345

解析

根据题干含义。

第一个条件：“如果按每横排4人编队，最后少3人”，则意为队伍总人数÷4余1，观察选项C，排除；

第二个条件：“如果按每横排3人编队，最后少2人”，则意为队伍总人数÷3余1，观察选项B，排除；

第三个条件：“如果按每横排2人编队，最后少1人”，则意味队伍总人数÷2余1，A、D两项均满足要求，则我们选出最小的一个即可，A项当选。

故正确答案为A。

例3：(2009江西) 学生在操场上列队做操，只知人数在 90-110 之间。如果排成3排则不多不少；如果排成 5 排则少 2 人；排成 7 排则少 4 人；则学生人数是多少 ?（ ）

A.102

B.98

C.104

D.108

解析

方法一：人数除以 5 余 3，除以 7 余 3，利用“”，5×7=35，这个数为 35n+3，n=3 时人数为 35×3+3=108 人，故本题选 D。

方法二：由题意可知，学生人数可以被3整除，排除B、C两项，剩二代一：代入A项：（102+2）÷5 不等于整数，不符合题意，排除；故只剩D项当选。验证D项：（108+2）÷5=22，（108+4）÷7=16，正确。

例4：(2019联考) 某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

A.3

B.4

C.5

D.6

解析

设获得一等奖的有x位选手、获得二等奖的有y位选手、获得三等奖的有z位选手。

根据共10位选手参赛和总分为61分，可列不定方程组：

①x + y + z = 10

②9x + 5y + 2z = 61

②-①×2可得：7x + 3y = 41。

，41除以3余2，3y除以3余0，，因为7除以3是余1，因此x除以3要余2（余1×余2=余2），只有C选项满足。

例5：(2024广东) 某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服务。按已有志愿者的数量，如果每位志愿者服务10位老人，则有5位老人无人提供服务；如果增加2位志愿者，则每位志愿者最多服务8位老人就能为所有老人提供服务。那么该社区最多有（ ）位独居老人。

A.50

B.55

C.60

D.65

解析

本题为余数问题，根据“如果每位志愿者服务10位老人，则有5位老人无人提供服务”可知（独居老人人数-5）能被10整除，排除A、C。

剩余2个选项用代入，题干所求为最多多少人，故从最大项依次代入。

D项：当独居老人为65人时，志愿者人数为（65-5）÷10=6人，按照题意增加2人后变为6+2=8人，可以服务老人8×8=64人 ＜ 65，服务老人数＜独居老人数。排除；

B项：当独居老人为55人时，志愿者人数为（55-5）÷10=5人，按照题意增加2人后变为5+2=7人，可以服务老人7×8=56人 ＞ 55，满足题干所有条件，当选。

故正确答案为B。

例6：(2019湖北选调) 某足球比赛售出40元、80元、120元门票共2000张，其中80元的门票数是120元的门票数的2倍，比赛门票收入共12万元。则40元门票售出多少张?

A.1000

B.1150

C.1200

D.1250

解析

设40元的门票有x张，120元的门票有y张，则80元的门票有2y张，根据总数为2000张可以列出等式，x+3y=2000，3y除以3余0，2000除以3余2，根据余数的可加性可分析出x除以3余2，即余2+余0=余2。

A除以3余1，排除;

B除以3余1，排除;

C除以3余0排除;

D除以3余2，正确，因此选择D选项。

例7：(2014黑龙江) 用1到7的数字组成一个六位数密码，密码中每个数字只使用一次，在所有可能的密码排列中，能被3整除的数字占所有可能的排列数的比重为：

A.$$\frac{1}{6}$$

B.$$\frac{2}{7}$$

C.$$\frac{3}{7}$$

D.$$\frac{1}{3}$$

解析

根据3的整除特性，所有数位数字之和能够被3整除则可被3整除。1+2+3+4+5+6+7=28，28÷3...1，如果密码能够被 3 整除，根据余数特性可减性，则需在这7位数中去掉一个除以3余1的数，1、4、7符合。

从7个数字当中选出6个全排列，则有$$A76$$种方式；密码当中不含1或不含4或不含7，假设不含1有$$A66$$种方式，现在有三个数字则一共有3×$$A66$$种方式。

则能被3整除的数字占所有可能的排列数的比重为：3×$$A66$$÷$$A76$$=$$\frac{3}{7}$$

故正确答案为C。

例8：(2019山东选调) 一个盒子里有乒乓球 100 多个，如果每次取 5 个出来最后剩 4 个，如果每次取 4 个最后剩 3 个，如果每次取 3 个最后剩 2 个，那么如果每次取 12 个最后剩多少个？（ ）

A.11

B.10

C.9

D.8

解析

由题干条件“每次取 5 个最后剩 4 个”可知，因此乒乓球的总数 =60n-1。

由于乒乓球有 100 多个，即 100 ＜ 60n-1 ＜ 200，所以解得 n=2 或 3。

当 n=2 时，乒乓球的数量 =60×2-1=119，每次取 12 个最后会剩余 11 个；

当 n=3 时，乒乓球的数量 =60×3-1=179，每次取 12 个最后也会剩余 11 个。

故本题选 A。