排列组合及概率

一、排列组合

定义及公式

1、排列的定义：，所有的情况数可记为$$Anm$$；

2、排列的计算公式：$$Anm$$=$$n(n−1)(n−2)...(n−m+1)$$

例如：从7人中选4人站排，所有情况=$$A74$$=7×6×5×4

3、组合的定义：，所有的情况数可记为$$Cnm$$;

4、组合的计算公式：$$Cnm$$=$$\frac{m!}{!}$$=$$\frac{n(n−1)(n−2)...(n−m+1)}{1}$$

例如：从7人中选3人出席活动，所有情况= $$C73$$=$$\frac{7\times6\times5}{1}$$

拓展

① $$C55$$＝$$C66$$＝$$C77$$＝$$Cmm$$＝1

② $$C52$$＝$$C53$$，$$C72$$＝$$C75$$，$$Cnm$$＝$$Cnn−m$$，可以理解为“五人中选三人剩两人”与“五人中选两人剩三人”的情况数相同。

”分类“与”分步“

1、加法原理（分类计算）：完成一件事有若干的方法，每种方法均可独立完成任务。（一句话总结：多选一，各走各的路，最后把路数加起来）

例如：从北京到上海可选择飞机（3班）、火车（5趟）、汽车（2班），则总共有3 +5 +2 = 10 种方式。因为你只能选一种交通方式。

2、乘法原理（分步计算）：完成一件事需，每一步的结果对后续步骤有影响。（一句话总结：一步一步来，每一步都影响下一步，最后把步数乘起来）

例如：从北京到上海有3种方式，再从上海到广州有4种方式，则总行程有 3 × 4 = 12 种组合。因为北京到上海相当一条“分支”，上海到广州又是一条“分支”，所以要乘。

3、综合应用示例：从5男4女中选3人组成委员会，要求至少1男1女，有多少种选法？

解法一：分情况计算后相加。选3人，要求至少1男1女，可能的情况为1男2女，2男1女。

1男2女：$$C51$$×$$C42$$=5×6=30

2男1女：$$C52$$×$$C41$$=10×4=40

分类用加法，总共30+40=70种

解法二：逆向思维。要求至少1男1女的对立面为全男或者全女，则总选法减去全男或全女。

总选法：$$C93$$=84

全男：$$C53$$=10

全女：$$C43$$=4

符合条件数：84-10-4=70种

4、解题原则：有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手。

特殊解题方法

1、捆绑法：将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素去进行运算，就叫做捆绑法。

（1）第一步：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要。

（2）第二步：将这个整体与其他元素。

（3）第三步：(即几个元素就A几几)。

例子：6个人排队，甲乙相邻，丙丁也要相邻的排法有多少种

分析：甲乙要求相邻，那就将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。丙丁也要求相邻，那也将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。甲乙一个主体，丙丁一个主体，最后还剩下两个主体。所以现在总的有四个主体那就进行全排列$$A44$$=24，然后两个“捆绑”的元素“解绑”排列，即$$A22$$×$$A22$$=4，所以24×4=96种，

2、插空法：解决元素不相邻问题。

（1）第一步：

（2）第二步：

（3）第三步：

例子：把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?(

分析：题目当中要求“每侧的柏树数量相等且不相邻”，满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树3棵，松树6棵，进行，先安排一侧再安排另一侧，采用插空法。优先安排6棵松树，因为松树完全相同，所以有一种方法，再将3棵柏树插入空中，因为松树要在两端，所以共5个空，$$C53=10$$，两侧都安排分步共10×10=100种方法。

3、插板法：

（1）题型标志：分相同的东西为若干组，每组至少分1个

（2）：将n个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，有$$Cn−1m−1$$种分法。

（3）原理：n个相同东西排成一列，形成 n-1 个内部空，需要分给 m 个主体，那只需要把排成一列的东西分成 m 堆，那只需要在 n-1 个内部空中插入 m-1个板即可形成。

（4）注意：若要求 "每人至少分a个"，我们可以先给每个主体至少分 a-1 个，此时东西还剩 n-m×(a-1)，问题直接转换成n-m×(a-1)个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，带入公式有$$Cn−am+m−1m−1$$种分法。

例子：将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有( )种分配方法

分析：题目为7个大小相同的桔子，元素相同，分配给4个小朋友，每人至少一个，满足隔板法使用条件，可直接套用公式，方法数有$$C63$$=20

4、错位排列：

（1）比如学校要考试，一共有18个班级，而学校规定，每个班的班主任不能回到自己班级监考，那么此时，班主任能够选择的是除了自己班以外的其他17个班级。这就是错位排列。

（2）首先从数量少的开始，若只有1个班级，1个班主任，没有其他班级可以监考，所以有0种方式完成此事

（3）若有2个班级，那么我们称之为A、B班，假设你是A班的班主任，现在要求不能监考自己的班级，只能去B班；同样假B班去A班，因此有1种方式完成此事;

（4）继续假设若有3个班级A、B、C；此时只有两种方式（B班主任、C班主任、A班主任）、（C班主任、A班主任、B班主任）

（5）但再往上4个班级、5个班级甚至更多……如果用这种枚举的方式去做，就很难完成了

（6）：$$Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2)$$

（7）、6取值，表如下：

n	1	2	3	4	5	6
$$Dn$$	0	1	2	9	44	265

5、环形排列：

（1）问法：n个元素围成一圈，问有多少种排列方法？计算时需要剔除重复的排列，比如abcde，bcdea，cdeab，deabc，eabcd，这五种围成环都是一种

（2）：$$\frac{Ann}{n}$$

例子：(2010 新疆)5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法

分析：带入公式$$A5−15−1$$=24种方法

6、枚举法：当情况数较少时，利用，不重复不漏掉，又不会耗费太多时间。

例子：用1、2、3各一次可以组成多少个不同的三位数？

分析：按照从小到大的顺序一一枚举出答案（123、132、213、231、312、321）。

二、概率

1、定义：概率即某种情况发生的可能性，一般以0～1之间的实数来表示；

2、公式：某种情况发生的概率(P)=$满足条件的情况数总的情况数$\frac{满足条件的情况数}{数}$$ = （逆向思维）。

从公式出发也不难看出，排列组合就是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合；

3、注意：

（1）

（2）可能会考察来计算概率。即P=$发生的所有可能结果所组成面积或长度所有可能结果所组成的总面积或总长度$\frac{发生的所有可能结果所组成面积或长度}{度}$$

拓展：跟屁虫题型

1、题型判定：在概率问题中出现

（1）同一行；

（2）同一班次；

（3）同一组；

（4）不同组；

（5）圆周相邻或不相邻等情况。

2、解题思路：第一个元素随便放，。

例1：国王举行了晚会，有100个人（包含国王和王后）参加，随机围坐在篝火四周，则国王和王后恰好坐在一起的概率是多少？

分析：题目问“坐在篝火四”、“坐在一起”，那就是圆周相邻。根据跟屁虫原理，先让国王随便入座，还剩余99个座位，若要和国王相邻，只有国王的左边和右边两个位置；一共99个座位只有2个座位是相邻的，所以概率为 2/99。

例2：国王举行了晚会，有100个人（包含国王和王后和王子）参加，随机围坐在篝火四周，国王和王子需要坐一起，则王后和国王恰好坐在一起的概率是多少？

分析：根据跟屁虫原理，第一个元素随便放，这里的第一个元素是指“国王和王子需要坐一起”，先让国王随便入座，王子在与国王相邻，此时剩余98个座位，若王后要和国王相邻，国王旁边只有1个位置相邻，因为旁边坐了一个王子；一共98个座位只有1个座位是相邻的，所以概率为 1/98。

三、随笔练习

例1：(2014 国考 ) 一次会议某单位邀请了 10 名专家，该单位预定了 10 个房间，其中一层 5 间、二层 5 间。已知邀请专家中 4 人要求住二层，3 人要求住一层，其余 3 人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人 1 间，有多少种不同的安排方案 ?

A.43200

B.7200

C.450

D.75

解析

。首先安排需要住二层的人，从 5 间二层房间中选出 4 间，安排 4 名专家的方法有$$A54$$种；再安排需要住一层的人，从 5 间一层房间中选出 3 间，安排 3 名专家的方法有$$A53$$种；最后安排剩下的 3 人，无任何要求，安排方法有$$A33$$。分步用乘法，安排方法共有$$A54\timesA53\timesA33=43200$$种。故正确答案为 A。

例2：(2016 国考 ) 为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内 ?（ ）

A.小于 1000

B.1000 ～ 5000

C.5001 ～ 20000

D.大于 20000

解析

3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连。可。则总共的排列顺序有：$$A33\timesA22\timesA44\timesA33$$=$$6\times2\times24\times6=1728$$种，属于1000 ～ 5000 的范围。故正确答案为 B。

例3：办公室工作人员一共有8个人，某次会议，已知全部到场。问：恰好有3个人坐错位置的情况一共有多少种?

A.78

B.96

C.112

D.146

解析

，有$$C85$$种情况；然后，剩余3个人坐错位置，相当于3个元素的错位重排，根据上述结论，有$$D3$$种情况。分步相乘，则恰好有3个人坐错位置的情况一共有$$C85\timesD3=56\times2=112$$种，故选C。

例4：(2018贵州选调)某公司将在本周一至周日连续七天举办联谊会，某员工随机地选择其中的连续两天参加联谊会，那么他在周五至周日期间连续两天参加联谊会的概率为：

A. 1/2

B. 1/3

C. 1/4

D. 1/6

解析

满足“周五至周日期间连续两天参加联谊会”的情况数为2种，即周五周六、周六周日参加联谊会；

总情况数为在本周一至周日连续七天内选择连续两天参加联谊会，有6种情况（即周一周二、周二周三、周三周四、周四周五、周五周六、周六周日6种情况）。

故概率P=2/6=1/3

例5：(2018四川自贡事业单位)5人相约一起去看电影，已知5个人同坐一排，且甲、乙、丙三人必须挨在一起，一共有（ ）种坐法。

A.18

B.28

C.36

D.42

解析

根据题意，“甲、乙、丙三人必须挨在一起”，，然后再与剩余的2人进行排列有$$A33$$种方法，再考虑甲乙丙捆绑内部顺序有$$A33$$种方法，因此有6×6=36种坐法。故正确答案为C。

例6：(2020云南)某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：

A. 35种

B. 70种

C. 96种

D. 114种

解析

所问为每个路口协管员名额的分配方案有多少种，则只需要考虑每个路口分配的人数是多少，不需要考虑到底分配哪个协管员。

根据插板法：m个相同元素分成n组，每组至少1个，则分配情况有$$Cn−1m−1$$种，题干可以理解为8个相同的名额分成4组，每组至少1个名额，则所求为$$C73$$=35种

故正确答案为A。

例7：(2017国考) 某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。问 5 个参加培训的 人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率：

A.低于 20%

B.在 20%~30% 之间

C.在 30%~35% 之间

D.大于 35%

解析

5个人任意分配到5个分公司的总情况数为$$A55$$=5×4×3×2×1=120；满足只有 1 人培训后返回原分公司的情况数为：$$C51\timesD4=45$$(先在5人中任选1人返回原分公司，共有$$C51$$ 种选择；再将剩下 4 人错位排列，$$D4=9$$)。则所求概率 =$满足要求的情况数总的情况数$\frac{满足要求的情况数}{数}$$。故正确答案为 D。

例8：(2023浙江)某停车场有7个连成一排的空车位。现有3辆车随机停在这排车位中，则任意两辆车之间至少间隔一个车位的概率为：

A. 1/5

B. 2/7

C. 6/35

D. 9/35

解析

根据题意，7个车位随机停3辆车，总情况数为$$A73$$=7×6×5=210种。满足条件的情况为任意两辆车之间至少间隔一个车位，即车辆之间不能相邻，可用插空法。

剩下的7-3=4个车位共形成5个空，停放3辆车，情况数为$$A53$$=5×4×3=60种。

因此所求概率P=60/210=2/7

故正确答案为B。

例9：(2018河北石家庄事业单位)有5对夫妻参加一场婚礼，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是操办者不知道他们之间的关系，随机安排座位，问5对夫妻恰好相邻而坐的概率是（ ）。

A．在1‰到5‰之间

B．在5‰到1%之间

C．超过1%

D．不超过1‰

解析

假设5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐为事件A，则A发生的概率=事件A的情况数/总的情况数。

10个人绕圆桌就餐，这是一个环形排列问题。N个物体排成一个环，那么有$$An−1n−1$$种可能，所以圆桌的坐法一共有$$A99$$种。

让所有的夫妇坐一块，可以将夫妇当成一个整体，相应的两个座位当成一个整体，则有5对夫妇去坐一个五个双人坐的圆桌，所以有$$A44$$种情况，而且每个夫妻本身坐法有左右之分，所以每个内部都有2种，5对夫妇每个内部的总顺序为2×2×2×2×2，所以夫妻坐一块一共有$$A44$$×32种。

所以概率=$$\frac{4\times3\times2\times32}{2}$$= 2/945≈2‰。

答案选A。

例10：(2018国家)某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

A．不高于15%

B．高于15%但低于20%

C．正好为20%

D．高于20%

解析

解法一：

从40个座位中选2个座位，由小张和小李随机入座，总的情况数为$A402$=40×39

要让他们恰好坐在同一排，应先从5排中选一排，再从这一排中选2个座位，符合条件的情况为$C51$$A82$=5×8×7。满足情况的概率=$\frac{5×8×7}{39}$约等于18%。

故正确答案为B。

解法二：

同一排同一列可以使用跟屁虫原理。

5排40个座位，每排8个座位。先让第一个人随便坐，假设是小张。

轮到小李坐，一共还有39个座位，但和小张坐在同一排剩余8-1=7个座位，所以概率为7/39 < 20%。

故正确答案为B。

例11：(2025河北36%)一只蜘蛛爬到一块正方形瓷砖上，该瓷砖的花纹由8个全等的菱形和12个全等的等腰直角三角形构成（如下图所示），假设蜘蛛的停留位置是随机的，那么蜘蛛恰好停在白色区域的概率最接近下列哪个值？

A．25%

B．30%

C．35%

D．高于20%

解析

几何概率。求出$\frac{白色面积}{正方形面积}$即可。

设每个等腰直角三角形的直角边长度为1，可得每个等腰直角三角形的斜边长度为$2$，则正方形的边长为1+1+$2$，注意不是3喔，题目是等腰直角三角形，不是等边。

则每个等腰直角三角形的面积=0.5×1×1=0.5，正方形瓷砖的总面积为=$(1+1+2)2$=$6+42$

则概率=$\frac{8×0.5}{2}$=$\frac{6+4×1.41}{1.41}$=34.4%，与C项最接近。

故正确答案为C。

例12：(2024海南)一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外的水管长7米。若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率在以下哪个范围内？（忽略水管直径）

A．小于0.35

B．在0.35~0.42之间

C．在0.42~0.50之间

D．大于0.50

解析

根据题意，若直角三角形一条直角边为a，a=7米，设另外一条直角边为b，斜边长为c，根据勾股定理可知$c2−b2=72$，即（c+b）×（c-b）=49×1，可得：c+b=49······①，c-b=1······②，联立①②两式，解得：b=24米，c=25米。

若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率为$\frac{斜边}{周长}$=$\frac{25+7+24}{24}$约等于0.45，在C项范围内。

故正确答案为C。

例13：(2024甘肃)企业将12个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，但比丙团队多，且每个团队至少分配1个名额。问有多少种不同的分配方式？

A．6

B．7

C．36

D．42

解析

因情况数较少，可用枚举法。

因要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，但比丙团队多。故可得甲团队名额>乙团队名额>丙团队名额。枚举情况如下表：

情况数	甲	乙	丙
1	9	2	1
2	8	3	1
3	7	4	1
4	7	3	2
5	6	5	1
6	6	4	2
7	5	5	3

一共7种情况。因此，选择A选项。